角運動量（angular momentum）

運動方程式

$$m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}\mathit{=}\mathbf{F}$$

の左辺と$\mathbf{r}$か$\mathbf{v}$のベクトル積で意味のある物理量を作る。

ベクトルはかける順番によって符号が変わるので、出てきた情報の解釈が容易な左から作用させて考える。

左辺と$\mathbf{r}$のベクトル積

$$\mathbf{v}\times \mathit{m}\dot{\mathbf{v}}\mathit{=}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}(\mathbf{v}\times \mathit{m}\mathbf{v})-\dot{\mathbf{v}}\times \mathit{m}\mathbf{v}$$

右辺第二項は

$$\mathbf{v}\times \mathit{m}\mathbf{v}\mathit{=}\mathbf{0}$$

であるから、意味のある物理量は得られない。

左辺と$\mathbf{v}$のベクトル積

$$\mathbf{r}\times \mathit{m}\dot{\mathbf{v}}\mathit{=}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}(\mathbf{r}\times \mathit{m}\mathbf{v})-\mathbf{v}\times \mathit{m}\mathbf{v}$$

右辺第二項は

$$\mathbf{v}\times \mathit{m}\mathbf{v}\mathit{=}\mathbf{0}$$

であるから、

$$\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times \mathbf{P})\mathit{=}\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

この式は原点０の周りの運動量のモーメントの時間変化は原点０の力のモーメントによって引き起こされるという因果関係を表している。

物理や数学では（位置ベクトル）$\times$（定義されたベクトル量）を「〜のモーメント」と呼ぶ。

このとき、

$$\mathbf{L}:=\mathbf{r}\times \mathbf{P}$$

を角運動量と定義する。

$$\dot{\mathbf{L}}:=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

$$d\mathbf{L}=\dot{\mathbf{L}}\mathit{d}\mathit{t}\mathit{=}\mathbf{r}\times \mathbf{F}\mathit{d}\mathit{t}$$

角運動量の微少量は力積のモーメントで表現できる。