角運動量（angular momentum）

運動方程式

$$m\frac{d^{2}\bf r}{dt^{2}}\it =\bf F$$

の左辺と\(\bf{r}\)か\(\bf{v}\)のベクトル積で意味のある物理量を作る。

ベクトルはかける順番によって符号が変わるので、出てきた情報の解釈が容易な左から作用させて考える。

左辺と\(\bf{r}\)のベクトル積

$$\bf v\it\times m\rm\dot{\bf v}\it=\frac{d}{dt}\left(\bf v\it\times m\bf v\right)\rm -\dot{\bf v}\it\times m\bf v$$

右辺第二項は

$$\bf v\it\times m\bf v\it =\bf 0$$

であるから、意味のある物理量は得られない。

左辺と\(\bf{v}\)のベクトル積

$$\bf r\it\times m\rm\dot{\bf v}\it=\frac{d}{dt}\left(\bf r\it\times m\bf v\right)\rm -\bf v\it\times m\bf v$$

右辺第二項は

$$\bf v\it\times m\bf v\it =\bf 0$$

であるから、

$$\frac{d}{dt}\left(\bf r\times\bf P\right)\it = \bf r\times\bf F$$

この式は原点０の周りの運動量のモーメントの時間変化は原点０の力のモーメントによって引き起こされるという因果関係を表している。

物理や数学では（位置ベクトル）\(\times\)（定義されたベクトル量）を「〜のモーメント」と呼ぶ。

このとき、

$$\bf L \rm :=\bf r\times\bf P$$

を角運動量と定義する。

$$\rm\dot{\bf L} \rm :=\bf r\times\bf F$$

$$d\bf L\rm = \dot{\bf L}\it dt =\bf r\times\bf F\it dt$$

角運動量の微少量は力積のモーメントで表現できる。