運動エネルギー（kinetic energy）

運動方程式

$$m\frac{d^{2}\bf r}{dt^{2}}\it =\bf F$$

の左辺と\(\bf{r}\)か\(\bf{v}\)のスカラー積で意味のある物理量を作る

左辺と\(\bf{r}\)のスカラー積

$$m\dot{\bf v}\cdot\bf{r}\it=\frac{d}{dt}\left(m\bf v\cdot\bf r\right)\rm -m\bf v\cdot\bf v$$

このとき、

$$m\bf v\cdot\bf v\neq 0$$

であるから、意味のある物理量は定義できない。

左辺と\(\bf{v}\)のスカラー積

$$m\dot{\bf v}\cdot\bf{v}\it=\frac{d}{dt}\left(m\bf v\cdot\bf v\right)\rm -m\bf v\cdot\bf{\dot{v}}$$

左辺と右辺の第二項をまとめて整理すると、

$$m\dot{\bf v}\cdot\bf{v}\it=\frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}m\bf v\cdot\bf v\right)\it=\frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}\it mv^2\right)$$

$$\frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}\it m v^2\right)\rm =\bf F\cdot\bf v$$

$$K:=\frac{1}{2}mv^2$$

を運動エネルギーと定義する。

運動エネルギーのシンボル\(\it K\)はkinetic energyに由来する。

$$\frac{dK}{dt}\it =\bf F\cdot\bf v$$

$$dK=\bf F\cdot\bf v\it dt=\bf F\cdot \it d\bf r$$

運動エネルギーの微小変化は微小距離でした仕事で表現できる。