力学の全体像

[mathjax]

運動方程式：粒子の運動の因果律

$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F\tag{1}$$

運動方程式から物理量を定義する

運動量の定義

$$m\frac{d^{2}\bf r}{dt^{2}}\rm=\bf F\tag{1}$$

書き換えると、

$$\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\bf r}{dt}\right)\rm=\bf F\tag{2}$$

このとき

$$\bf p\rm :=m\frac{\it d\bf r}{\it dt}=m\bf v$$を運動量と定義する。

運動量はベクトルであるから、向きも含めた運動の勢いを表す量と解釈できる。

両辺を時間で積分すると、

$$\int m\frac{d^{2}\bf r}{dt^{2}}dt=\int \bf F~\it dt\tag{3}$$

整理すると、

$$m\frac{d\bf r}{dt}=\int \bf F~\it dt\tag{1}$$

運動エネルギーの定義

$$m\frac{d^{2}\bf{r}}{dt^{2}}=\bf{F}\rm\tag{1}$$

運動方程式の左辺と\(\bf{r}\)か\(\bf{v}\)のスカラー積で意味のある物理量を作る

左辺と\(\bf{r}\)のスカラー積

$$m\frac{d^{2}\bf{r}}{dt^{2}}\cdot\bf{r}\it=\frac{d}{dt}\left(m\bf v\cdot\bf r\right)\rm -m\bf v\cdot\bf v\rm\tag{2}$$

このとき、

$$m\bf v\cdot\bf v\neq 0\rm\tag{3}$$

であるから、意味のある物理量は定義できない。

左辺と\(\bf{v}\)のスカラー積

$$m\dot{\bf v}\cdot\bf{v}\it=\frac{d}{dt}\left(m\bf v\cdot\bf v\right)\rm -m\bf v\cdot\bf{\dot{v}}\rm\tag{2}$$

左辺と右辺の第二項をまとめて整理すると、

$$m\dot{\bf v}\cdot\bf{v}\it=\frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}m\bf v\cdot\bf v\right)\it=\frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}\it mv^2\right)$$

このとき、

$$\bf F\cdot\bf v\rm :=\it \frac{d}{dt}\rm\left(\frac{1}{2}\it m v^2\right)$$

を仕事率と定義する。

$$K:=\frac{1}{2}mv^2$$

を運動エネルギー（kinetic energy）と定義する。

角運動量の定義

$$m\frac{d^{2}\bf{r}}{dt^{2}}=\bf{F}\rm\tag{1}$$

運動方程式の左辺と\(\bf{r}\)か\(\bf{v}\)のベクトル積で意味のある物理量を作る。

ベクトルはかける順番によって符号が変わるので、出てきた情報の解釈が容易な左から作用させて考える。

左辺と\(\bf{r}\)のベクトル積

$$\bf v\it\times m\rm\dot{\bf v}\it=\frac{d}{dt}\left(\bf v\it\times m\bf v\right)\rm -\dot{\bf v}\it\times m\bf v\rm\tag{2}$$

左辺と\(\bf{v}\)のベクトル積

$$\bf r\it\times m\rm\dot{\bf v}\it=\frac{d}{dt}\left(\bf r\it\times m\bf v\right)\rm -\bf v\it\times m\bf v\rm\tag{2}$$

このとき、

$$\bf v\it\times m\bf v\it =0$$